Математические модели и
численные методы их реализации

1. Геометрическая прогрессия. Последовательность Фибоначчи. История модели. Характеристическое уравнение. Расчет n-го элемента последовательности как решения линейного разностного уравнения с постоянными коэффициентами. Формула Бине. Оценка величины решения при больших n. Как зависит поведение решения от начальных условий. Восстановление истории процесса - поведение решения при отрицательных n. 2. Метод Герона извлечения квадратного корня – получение сходящейся последовательности. Какие последовательности могут получаться из рекуррентных формул? Решением задачи может стать не число, а бесконечная последовательность чисел. 3. Общая теория линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами порядка N. Случай простых корней характеристического уравнения. 4. Случай кратных корней. 5. Системы линейных разностных уравнений с постоянными коэффициентами порядка N. Сведение уравнения к системе. Когда обратное сведение невозможно. 6. Модель Лесли для оценки динамики возрастного состава популяции. 7. Обобщения последовательности Фибоначчи (другие формулы рождаемости). 8. Оценка числа вариантов подняться по лестнице, если можно через одну или через две ступеньки и возможные ее обобщения. 9. Комплексные числа и их основные свойства. Экспоненциальная форма комплексных чисел. Формулы де Муавра. Формулы Региомонтана для тригонометрических функций. Многочлены Чебышёва 1-го и 2-го рода. Извлечение корней из комплексных чисел. 10. Основная теорема алгебры и ее доказательство. 11. Умножение и деление многочленов. Линейное пространство многочленов. Интерполяционные многочлены. 12. Изолинии аналитических функций на комплексной плоскости. 13. Метод Герона на комплексной плоскости. Периодические точки. Возможность ухода на бесконечность. Метод Ньютона для решения нелинейных уравнений. Примеры. Бассейны притяжения для итераций при поиске корней уравнения. Различия в топологии бассейнов при решении квадратного и кубического уравнений на комплексной плоскости. 14. Комплексные корни характеристического уравнения. Устойчивость стационарного решения по Ляпунову. Когда нулевое решение линейных разностных уравнений или систем с постоянными коэффициентами устойчиво к малым возмущениям. 15. Основные понятия теории вероятностей. Решение простейших задач. 16. Марковские цепи. Рост неопределенности в задаче о часах с маловероятной ошибкой. 17. Задача о случайных блужданиях на сетке. Игра с постоянной суммой. Вероятность выигрыша 1-го игрока, если нет ничьей. Случай, когда игроки играют в одинаковую силу. 18. Вероятность, если ничья возможна. 19. Математическое ожидание времени окончания игры.

1. Модель Мальтуса. 2. Модель радиоактивного распада изотопа. 3. Метод разделения переменных для обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка специального вида. 4. Пример дифференциального уравнения с гладкой правой частью, для которого решение задачи Коши может существовать лишь конечное время. 5. Общее решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами. Случаи простых и кратных корней характеристического уравнения. 6. Логистическое дифференциальное уравнение для численности популяции. Фазовый портрет и стационарные точки. 7. Определение устойчивости и неустойчивости стационарных точек дифференциального уравнения или системы. 8. Модель Берталанфи роста организма. 9. Модель фон Гомпертца роста организма. 10. Ряд Ньютона для решения дифференциального уравнения, гладкого в окрестности заданной точки. Ряд Тейлора. Случай одного переменного. 11. Аппроксимация Паде – Эрмита для гладких функций. Ее преимущества по сравнению с рядом Тейлора. Примеры. 12. Удержание веса на канате, перекинутом через бревно, за счет трения. Формула Эйлера. 13. Модель Ланкастера войны двух армий. Первый интеграл задачи. 14. Модель войны двух орд. Два типа фазовых портретов. Почему в одном случае первый интеграл существует, а в другом – нет. 15. Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Собственные числа – вот от чего зависит рост решения задачи Коши. 16. Модель химической кинетики. Первый интеграл. Оценка излишка одного из реагентов. 17. Уравнение Лотки – Вольтерры (хищники и жертвы). Стационарные точки. Фазовый портрет. 18. Модель двух популяций, нуждающихся в общем ресурсе. 19. Модель рекламной кампании. 20. Уравнение линейного идеального маятника. 21. Уравнение линейного маятника с трением. Гармоническое воздействие на такой маятник. Явление резонанса – зависимость амплитуды раскачки от частоты форсинга (внешней силы). 22. Уравнение нелинейного идеального маятника. Фазовый портрет.

1. Непрерывные и гладкие функционалы. Линейный ненулевой функционал не имеет экстремумов. Первая вариация гладкого функционала. 2. Первая вариация интегрального функционала. Уравнение Эйлера. 3. Вариационное согласование информации о координате и скорости автомобиля. 4. Примеры уравнений Эйлера для простейших задач. 5. Граничные условия трансверсальности для вариационных задач. 6. Вариационные задачи со старшими производными, для вектор-функций и для функций нескольких переменных. 7. Принцип наименьшего (стационарного) действия для недиссипативных моделей. 8. Метод множителей Лагранжа для поиска условного экстремума. 9. Функции Лагранжа и согласование наблюдений с дифференциальными уравнениями. 10. Вторая вариация и квадратичные функционалы. Собственные функции. 11. Уравнение Якоби, гипотеза Лежандра и сопряженные точки. 12. Метод градиентного спуска для минимизации функционалов. 13. Метод Понтрягина оптимального управления

1. Вывод уравнения неразрывности. Операторы градиента и дивергенции. 2. Законы Фика и Фурье. Вывод уравнения диффузии и теплопроводности. Физическая интерпретация граничных условий. 3. Явная схема Эйлера для решения уравнения диффузии. Явление неустойчивости схемы. Условие устойчивости. 4. Метод разделения переменных для уравнений Пуассона и теплопроводности. Ряды Фурье. 5. Преобразование Фурье и его свойства. Теорема Планшереля. Теорема об обратном преобразовании. Свертка. 6. Собственные функции преобразования Фурье. 7. Преобразование Фурье для разностных и дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Символ оператора. 8. Преобразование Фурье от рациональных функций без вещественных полюсов. Случаи простых и кратных полюсов. 9. Преобразование Фурье от гауссианы. 10. Метрические и нормированные пространства. Примеры. 11. Основная теорема аппроксимации. 12. Полные пространства. Неподвижная точка сжимающего отображения. Суперсходимость метода Ньютона поиска корней. 13. Гильбертовы пространства и неравенство Коши – Буняковского. 14. Основные и обобщенные функции. Топология (сходимость последовательностей) в пространстве основных функций не метризуема. 15. Дифференцирование обобщенных функций. 16. Дельтообразные последовательности. 17. Фундаментальные решения дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.