Введение в разностные методы

Разностный метод решения задачи Дирихле для двумерного уравнения Пуассона. Принцип максимума и его следствия. Три определения устойчивости разностного метода и их эквивалентность. Погрешность аппроксимации. Оценка погрешности в равномерной норме. Компактный метод повышенного порядка аппроксимации. Сеточный метод Фурье в одномерном и двумерном случаях. Прямой метод вычисления решения разностного метода, основанный на разложении решения в двукратную сумму Фурье. Эффективное хранение информации в памяти компьютера и объем вычислительной работы, особенности реализации. Разностный метод на неравномерной сетке. Энергетический метод исследования устойчивости. Метод сумматорных тождеств и вариационно-разностный метод.

Начально-краевая задача для двумерного уравнения теплопроводности. Полудискретный метод ее решения. Двухслойные разностные схемы (явная, неявная, симметричная, с весами). Их реализация. Принцип максимума. Погрешность аппроксимации. Устойчивость. Спектральный и энергетический методы исследования устойчивости. Оценка погрешности. Экономичные разностные методы: переменных направлений, с расщепляющимся оператором, локально-одномерные и др. Их свойства.

Начально-краевая задача для двумерного волнового уравнения. Трехслойный явный разностный метод и метод с весами. Погрешность аппроксимации. Двухслойный векторный метод. Устойчивость. Энергетический метод исследования устойчивости. Оценка погрешности. Компактные методы повышенного порядка аппроксимации. Экономичные разностные методы.

Обусловленность систем линейных алгебраических уравнений. Треугольное разложение, разложение Холецкого и QR-разложение матриц и их применение. Их вычислительная устойчивость. Эффективное хранение информации в памяти компьютера и объем вычислительной работы. Применение к разностным методам для стационарных задач.

Метод простой итерации. Методы Якоби и Зейделя. Метод простой итерации с оптимальным параметром. k-шаговый итерационный метод с чебышевским набором параметров. Вариационная постановка задачи решения системы линейных алгебраических уравнений. Вариационная интерпретация метода Зейделя. Метод скорейшего спуска. Пространства Крылова. Метод сопряженных градиентов как итерационный метод решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод простой итерации и k-шаговый итерационный метод с предобуславливанием. Применение к разностным методам для стационарных задач.