Введение в разностные методы

О курсе

Разностные методы относятся к тем методам, на которых основано компьютерное моделирование задач, описываемых дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие задачи являются ключевыми в естественных науках (физике, химии, биологии, экологии и т.д.) и инженерных приложениях, и они плодотворно используются также в экономике, социологии и др. науках. При этом сами разностные модели являются конечномерными и сравнительно простыми. Курс посвящен различным подходам к построению разностных методов, анализу их основных свойств и эффективным способам реализации.

Цели курса

Формирование приемов построения разностных методов решения типичных задач для прикладных уравнений в частных производных.

Развитие способности исследовать основные свойства разностных методов.

Формирование умения эффективно реализовывать разностные методы.

Вы научитесь

1. Строить разностные методы для различных прикладных уравнений с частными производными.

2. Исследовать основные свойства разностных методов.

3. Эффективно реализовывать разностные методы.

Программа обучения

Тема 1. Разностный метод для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в прямоугольнике

Принцип максимума и его следствия. Основные понятия теории разностных методов (устойчивость, аппроксимация, оценка погрешности).

Тема 2. Разностный метод на неравномерной сетке для уравнения Пуассона

Свойства. Разностные дискретизации 3-го краевого условия. Главный член погрешности аппроксимации. Разностный метод повышенной точности.

Тема 3. Сеточный метод Фурье в одномерном и двумерном случаях

Быстрое дискретное преобразование Фурье. Фурье-разложения решения разностного метода для уравнения Пуассона и соответствующие прямые методы вычисления решения. Сеточные нормы, связанные с двумерным сеточным оператором Лапласа.

Тема 4. Обобщенная и вариационная постановки краевой задачи для обобщенного уравнения Пуассона с переменными коэффициентами, связь между ними

Интегральное тождество и функционал энергии. Метод сумматорных тождеств и вариационно-разностный подход к построению разностных методов и их свойства.

Тема 5. Прямые и итерационные методы решения алгебраических систем уравнений разностных методов

Неявные итерационные методы и их эффективность.

Тема 6. Начально-краевая задача для двумерных параболических уравнений

Явный, чисто неявный, симметричный, с весами двухслойные разностные методы для ее решения. Их свойства в равномерной норме.

Тема 7. Спектральный и энергетический методы исследования устойчивости двухслойных разностных методов

Тема 8. Экономичные методы решения уравнения теплопроводности (метод переменных направлений , метод приближенной факторизации, локально-одномерный метод ) и их свойства

Тема 9. Начально-краевая задача для двумерного волнового уравнения

Трехслойные явный разностный метод и метод с весом. Двухслойный векторный разностный метод. Их свойства и реализация.

Преподаватель

Злотник Александр Анатольевич
Департамент математики: Профессор-исследователь

Для кого

Для желающих познакомиться с важным подходом, типичным для компьютерного моделирования прикладных уравнений в частных производных. Для студентов естественно-научных, а также финансово-экономических и других специальностей, сталкивающихся с такими уравнениями.

Документ об окончании

После успешного освоения материалов курса выдается сертификат установленного НИУ ВШЭ образца

Задать вопрос

Формат обучения

Лекции

Онлайн

Итоговый контроль

Одна письменная контрольная работа и письменный экзамен

Стоимость и условия

5 тыс. ₽

Полный доступ к материалам курса + сертификат

Записаться

Бесплатно

Только лекции