Основы теории алгебр Клиффорда и спиноров

О курсе

Во время прохождения курса слушатели познакомятся с основами теории алгебр Клиффорда и геометрической алгебры, теорией спинорных групп и приложениями

Познакомиться с различными аспектами линейной алгебры

Познакомиться с различными аспектами общей алгебры, теории представлений, теории групп и алгебр Ли

Познакомиться с основами дифференциальной геометрии и математической физики

Вы научитесь

1. Формулировать определения основных алгебро-геометрических понятий и приводить к ним примеры

2. Перечислять примеры алгебр Клиффорда малых размерностей, описывать основные операции в алгебрах Клиффорда и их свойства

3. Классифицировать матричные представления алгебр Клиффорда

4. Описывать реализации основных алгебр Ли и групп Ли в алгебрах Клиффорда и некоторые приложения алгебр Клиффорда в геометрии и физике

Программа обучения

Тема 1. Некоторые основные алгебро-геометрические понятия

Группы, кольца, поля, алгебры; евклидовы, унитарные, нормированные, метрические, топологические пространства, многообразия.

Тема 2. Алгебры Клиффорда в случае малых размерностей, примеры

Комплексные числа, двойные числа, кватернионы. Матрицы Паули, матрицы Дирака. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана), алгебра дифференциальных форм.

Тема 3. Некоторые основные операции в алгебрах Клиффорда

Операции сопряжения в алгебрах Клиффорда, инволюции, градуировки. Коммутаторы и антикоммутаторы, центр алгебры Клиффорда. Унитарное пространство на алгебре Клиффорда. Унитарные группы в алгебрах Клиффорда.

Тема 4. Матричные представления алгебр Клиффорда

Основы теории представлений конечных групп, матричные представления алгебр Клиффорда, точные и неприводимые представления. Периодичность Картана-Ботта. Примитивные идемпотенты и минимальные левые идеалы. Теорема Паули о связи двух наборов антикоммутирующих величин.

Тема 5. Алгебры Ли и группы Ли в алгебрах Клиффорда

Группы Липшица и группы Клиффорда. Спинорные группы в случае произвольной размерности. Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными группами. Теорема Картана-Дьедонне. Изоморфизмы спинорных групп малых размерностей классическим матричным группам.

Тема 6. Приложения алгебр Клиффорда в геометрии, физике

Уравнение Дирака, спиноры Паули, Дирака, Вейля, Майорана, Майорана-Вейля.

Преподаватель

Широков Дмитрий Сергеевич

Доцент: Факультет экономических наук / Департамент математики

Для кого

Для широкого круга адресатов — и в первую очередь для расширения своего математического кругозора. Для всех интересующихся математикой, студентов, аспирантов, молодых ученых смежных специальностей.

Предполагается, что слушатели знакомы с основными понятиями линейной алгебры, читаемой на 1 курсе бакалавриата различных факультетов НИУ ВШЭ и других ВУЗов. Все остальные необходимые сведения будут даваться по ходу изложения. Данный курс является возможностью расширить свой математический кругозор, для заинтересованных это также возможность после успешной сдачи курса поработать над актуальными научно-исследовательскими задачами с последующим написанием курсовых и дипломных работ, научных публикаций, а также подключиться к деятельности научно-учебной группы по данной тематике.

Документ об окончании

После успешной защиты выпускной работы выдается сертификат о прохождении курса установленного НИУ ВШЭ образца

Задать вопрос

Формат обучения

Лекции

Онлайн

Итоговый контроль

Одна письменная контрольная работа и один письменный экзамен. Итоговая оценка=0.4*КР + 0.6*ЭКЗ.

Стоимость и условия

5 тыс. ₽

Полный доступ к материалам курса + сертификат

Записаться

Бесплатно

Только лекции

Записаться