Основы теории алгебр Клиффорда и спиноров

О курсе

Познакомиться с основами теории алгебр Клиффорда и геометрической алгебры, теорией спинорных групп и приложениями

Познакомиться с различными аспектами линейной алгебры

Познакомиться с различными аспектами общей алгебры, теории представлений, теории групп и алгебр Ли

Познакомиться с основами дифференциальной геометрии и математической физики

Вы научитесь

1. Формулировать определения основных алгебро-геометрических понятий и приводить к ним примеры

2. Перечислять примеры алгебр Клиффорда малых размерностей, описывать основные операции в алгебрах Клиффорда и их свойства

3. Классифицировать матричные представления алгебр Клиффорда

4. Описывать реализации основных алгебр Ли и групп Ли в алгебрах Клиффорда и некоторые приложения алгебр Клиффорда в геометрии и физике

Программа обучения

Тема 1. Некоторые основные алгебро-геометрические понятия

Группы, кольца, поля, алгебры; евклидовы, унитарные, нормированные, метрические, топологические пространства, многообразия.

Тема 2. Алгебры Клиффорда в случае малых размерностей, примеры

Комплексные числа, двойные числа, кватернионы. Матрицы Паули, матрицы Дирака. Внешняя алгебра (или алгебра Грассмана), алгебра дифференциальных форм.

Тема 3. Некоторые основные операции в алгебрах Клиффорда

Операции сопряжения в алгебрах Клиффорда, инволюции, градуировки. Коммутаторы и антикоммутаторы, центр алгебры Клиффорда. Унитарное пространство на алгебре Клиффорда. Унитарные группы в алгебрах Клиффорда.

Тема 4. Матричные представления алгебр Клиффорда

Основы теории представлений конечных групп, матричные представления алгебр Клиффорда, точные и неприводимые представления. Периодичность Картана-Ботта. Примитивные идемпотенты и минимальные левые идеалы. Теорема Паули о связи двух наборов антикоммутирующих величин.

Тема 5. Алгебры Ли и группы Ли в алгебрах Клиффорда

Группы Липшица и группы Клиффорда. Спинорные группы в случае произвольной размерности. Двулистные накрытия ортогональных групп спинорными группами. Теорема Картана-Дьедонне. Изоморфизмы спинорных групп малых размерностей классическим матричным группам.

Тема 6. Приложения алгебр Клиффорда в геометрии, физике

Уравнение Дирака, спиноры Паули, Дирака, Вейля, Майорана, Майорана-Вейля.

Преподаватель

Широков Дмитрий Сергеевич

Доцент: Факультет экономических наук / Департамент математики

Для кого

Для широкого круга адресатов — и в первую очередь для расширения своего математического кругозора

Для всех интересующихся математикой

Для абитуриентов и их учителей

Для молодых ученых смежных специальностей

Документ об окончании

После успешной защиты выпускной работы выдается сертификат о прохождении курса установленного НИУ ВШЭ образца

Задать вопрос

Формат обучения

Лекции

24 лекций продолжительностью 80 минут каждая (12 занятий по 2 пары)
Лекции проходят на платформе Zoom

Консультации

По электронной почте (опционально)

Итоговый контроль

Предусмотрена одна письменная контрольная работа с весом 0.4 и письменный экзамен с весом 0.6. Работы выполняются самостоятельно, при этом можно пользоваться своими записями лекций.

Стоимость и условия

5 тыс. ₽

Полный доступ к материалам курса + сертификат

Записаться

Бесплатно

Только лекции

Записаться