Линейная алгебра (Linear Algebra)

О курсе

Онлайн-курс вводит понятие линейного и конечномерного пространства, линейных функционала и оператора. Мы научимся диагонализировать матрицу, находить жорданов базис в случае пространств небольшой размерности, познакомимся с фактами о ядре. Каждая лекция состоит из нескольких видеофрагментов длиной около 10 минут и упражнения.

Цели курса

Узнать о понятии линейности и линейного пространства, конечномерного пространства, линейного функционала, линейного оператора

Научиться оперировать матрицами, находить удачные базисы для линейных операторов (диагонализировать матрицу, если это возможно, найти жорданов базис в случае пространств небольшой размерности)

Изучить квадратичные формы и их приведение к главным осям, а также обсудить теорему Перрона-Фробениуса и ее приложение к индексированию страниц в интернете

Вы научитесь

1. Корректно использовать абстрактные понятия, такие как: вектор, матрица, определитель матрицы, собственные значения матрицы, собственные вектора матрицы, линейный оператор, базис, линейные пространства, квадратичные формы, линейная независимость, жорданова форма

2. На основе анализа методами линейной алгебры видеть и корректно формулировать результат

3. Разбираться в корректных постановках классических задач линейной алгебры

4. Самостоятельно строить алгоритм и анализировать его

Программа обучения

Тема 1. Понятие линейного пространства

В этим модуле мы познакомимся с самыми базовыми понятиями - с теми, на которых строится весь дальнейший курс, которые объясняют, как выглядит множество объектов, изучаемых линейной алгеброй.

Тема 2. Линейные функции на линейном пространстве

На этой неделе мы поговорим о то, что есть линейные функции, об их выгодных сторонах, увидим, что вокруг нас очень многое живет по линейным законам.

Тема 3. Базис линейного пространства

В этом модуле попытаемся представить себе, что такое четырехмерное (и n-мерное) пространство, причём тут координаты, а так же введём понятие базиса линейного пространства и обсудим основные вопросы, связанные с ним; переходы от базиса к базису.

Тема 4. Системы линейных уравнений

Эти лекции дадут нам понять, как привычные нам системы линейных уравнений с многими неизвестными связаны с пространством, функциями в нем и разными фигурам, а так же обсудим разные методы решения таких систем.

Тема 5. Факты о ядре и образе линейного отображения, преобразования координат

Поговорим с вами о том, что такое отображение в линейном пространстве, а так же, какое значение в этой науке имеют слова "образ" и "ядро", и что можно понять про отображения, обладая информацией про эти объекты. (И наоборот).

Тема 6. Операции над матрицами

В этом модуле мы расскажем, почему матрица и линейное отображение - это почти одно и то же, какие в мире бывают матрицы и как с ними обращаться.

Тема 7. Собственные вектора и значения линейного оператора

На этой неделе вы узнаете, что такое собственный вектор, собственное значение, и кому они принадлежат. А ещё - почему они так полезны в нашей науке.

Тема 8. Жорданова нормальная форма

В конце этой недели вы будете знать, к какому общему виду можно привести абсолютно любую комплекснозначную матрицу, какие тайные знания нам даёт подобная форма,и почему так важно уметь матрицу к этому виду привести самостоятельно.

Тема 9. Билинейные формы и операции с ними

Мы расскажем вам, что такое билинейные формы и с чем их едят, где в окружающем мире увидеть билинейные формы, и как с ними можно работать.

Тема 10. Квадратичные формы и процесс ортогонализации

В этом модуле разговор пойдёт про квадратичные формы - ещё один вид преобразований, про то, почему они удобны, за какие изменения пространств отвечают, и как приводить их к самому красивому виду путём замены координат.

Тема 11. Метод наименьших квадратов

Метод наименьших квадратов - что это? Лектор подробно расскажет, что это за метод, в каких случаях удобно им пользоваться, и что в жизни есть множество ситуаций, в которых он даёт очень подходящие результаты.