Введение в гладкие многообразия

В этом модуле мы начнем с исторической справки предмета. Узнаем, как развивалась наука гладких многообразий, какие основные теоремы были предложены, имена каких ученых следует иметь в виду. Также мы начнем свое знакомство с многообразиями: рассмотрим их примеры, поговорим о ключевых определениях и терминах.

В этом модуле мы введем понятие параметрической кривой и кривой. Вспомним важные теоремы анализа: теоремы о неявной и обратной функции. Также будет обсуждаться понятие поверхности. Обсудим, являются ли регулярные поверхности гладкими многообразиями.

В этом модуле мы изучим понятие ориентации на многообразии. Введем понятия многообразия с краем и разберемся, как ориентация на многообразии соотносится с ориентацией на крае.

В этом модуле мы займемся изучением касательных и показательных пространств. Рассмотрим совершенно разные подходы к определению этих понятий. Изучим, что такое дифференциал отображения. В последней части модуля рассмотрим такой сложный объект, как расслоение.

В этом модуле мы изучим понятие гладкого разбиения единицы: что это за объект и где его можно применять. Изучим такие важные понятия, как вложение и погружение многообразий. Крайне интересным случаем является вложение компактного многообразия в евклидово пространство, который объясняется теоремой Уитни.

В этом модуле мы изучим понятия векторного поля на многообразии. Изучим, каким образом можно вычислять траектории потока векторного поля. Разберемся с коммутатором векторных полей, его связью с производной Ли. В конце этого модуля даже затронем группы Ли.

В этом разделе мы столкнемся с понятием тенора типа (k, l). Разберемся, что такое внешняя форма. Введем важнейшее понятие понятие дифференциальной формы. В конце этого модуля предлагается дополнительный материал о векторных расслоениях, а также сложные теоретические описание теноров и форм с помощью расслоений.

В этом модуле подробно изучается понятие дифференциальной формы. Мы научимся осуществлять основные операции с дифференциальными формами: умножать и складывать, а также вычислять от них внешний дифференциал.

В этом модуле мы научимся интегрировать дифференциальные формы по многообразию. Затем мы приблизимся к ключевому моменту всего нашего курса: формуле Стокса. Это невероятно сильный результат, обобщающий формулы векторного анализа.

В этом модуле, сперва, мы разберемся, что такое точная форма и что такое замкнутая форма. Мы изучим понятие клеточного комплекса и введем понятие когомологий де Рама. Изучим лемму Пуанкаре и рассмотрим пример решения системы в частных производных.